La version numrique du sujet fournie en fichier texte (format *.txt) doit tre ouverte en tant que braille informatique. Elle sera affiche en braille 6 points. Lapplication  bloc-notes  des ordinateurs courants, ou des logiciels spcialiss, peut tre utilise.  dfaut, reportez-vous  la version en papier. 
Le candidat doit rdiger ses rponses sur un second fichier, et peut demander  un assistant ou  un secrtaire de recopier sa production de faon manuscrite sur une copie.
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La page du document original est indique par  PO 1  pour  page originale n1 . Les rfrences aux pages braille (sommaire, rfrences en cours de sujet) font rfrence au sujet braille emboss.

po `1
`25-matj`1me1
braille intgral
baccalaurat gnral
preuve d'enseignement de spcialit
session `2025
mathmatiques
mardi `17 juin `2025
dure de l'preuve: `4 heures
l'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autoris.
l'usage de la calculatrice sans mmoire "type collge" est autoris.
ds que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
dans la version originale, le sujet comporte `7 pages numrotes de `1  `7.
dans la version en braille intgral, le sujet comporte `27 pages de texte numrotes de `1  `27 `! `2 planches tactiles sur papier thermogonfl en fin de volume. la planche tactile no `1 est galement propose sur feuille plastique.
le code de modification mathmatique (point `6) est omis dans les planches tactiles.
le candidat doit traiter les quatre exercices proposs.
le candidat est invit  faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m2me incomplte ou non fructueuse, qu'il aura dveloppe.
la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises en compte dans l'apprciation de la copie. les traces de recherche, m2me incompltes ou infructueuses, seront valorises.
sommaire
exercice `1 `5
exercice `2 `12
partie a `14
partie b `15
partie c `17
exercice `3 `18
exercice `4 `21
partie a `22
partie b `25
po `2
exercice `1 (`5 points)
on compte quatre groupes sanguins dans l'espce humaine: a, b, ab et o.
chaque groupe sanguin peut prsenter un facteur rhsus. lorsqu'il est prsent, on dit que le rhsus est positif, sinon on dit qu'il est ngatif.
au sein de la population franaise, on sait que:
9o `45 des individus appartiennent au groupe a, et parmi eux `85 sont de rhsus positif;
9o `10 des individus appartiennent au groupe b, et parmi eux `84 sont de rhsus positif;
9o `3 des individus appartiennent au groupe ab, et parmi eux `82 sont de rhsus positif.
on choisit au hasard une personne dans la population franaise.
on dsigne par:
9o `a l'vnement "la personne choisie est de groupe sanguin a";
9o `b l'vnement "la personne choisie est de groupe sanguin b";
9o `ab l'vnement "la personne choisie est de groupe sanguin ab";
9o `o l'vnement "la personne choisie est de groupe sanguin o";
9o `r l'vnement "la personne choisie a un facteur rhsus positif".
pour un vnement quelconque `e, on note `:e l'vnement contraire de `e et `p(e) la probabilit de `e.
`1. recopier l'arbre `;planche tactile no `1' en compltant les dix pointills.
`;voir planche tactile no `1. cette planche est galement propose sur feuille plastique.'
`2. montrer que `p(b!r)`"0,084. interprter ce rsultat dans le contexte de l'exercice.
`3. on prcise que `p(r)`"0,839'7. montrer que `p?o(r)"0,83.
`4. on dit qu'un individu est "donneur universel" lorsque son sang peut 2tre transfus  toute personne sans risque d'incompatibilit.
le groupe o de rhsus ngatif est le seul vrifiant cette caractristique.
montrer que la probabilit qu'un individu choisi au hasard dans la population franaise soit donneur universel est de `0,071'4.
po `3
`5. lors d'une collecte de sang, on choisit un chantillon de `100 personnes dans la population d'une ville franaise. cette population est suffisamment grande pour assimiler ce choix  un tirage avec remise.
on note `x la variable alatoire qui  chaque chantillon de `100 personnes associe le nombre de donneurs universels dans cet chantillon.
a. justifier que `x suit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.
b. dterminer  `10^-3 prs la probabilit qu'il y ait au plus `7 donneurs universels dans cet chantillon.
c. montrer que l'esprance `e(x) de la variable alatoire `x est gale  `7,14 et que sa variance `v(x) est gale  `6,63  `10^-2 prs.
`6. lors de la semaine nationale du don du sang, une collecte de sang est organise dans `n villes franaises choisies au hasard numrotes `1, `2, `3,..., `n o `n est un entier naturel non nul. on considre la variable alatoire `x?1 qui  chaque chantillon de `100 personnes de la ville `1 associe le nombre de donneurs universels dans cet chantillon.
on dfinit de la m2me manire les variables alatoires `x?2 pour la ville `2, ..., `x?n pour la ville `n. on suppose que ces variables alatoires sont indpendantes et qu'elles admettent la m2me esprance gale  `7,14 et la m2me variance gale  `6,63.
on considre la variable alatoire `'m?n"x?1!x?2!. ..!x?n;/n.
a. que reprsente la variable alatoire `m?n dans le contexte de l'exercice?
b. calculer l'esprance `e(m?n).
c. on dsigne par `v(m?n) la variance de la variable alatoire `m?n.
montrer que `v(m?n)"6,63/n.
d. dterminer la plus petite valeur de `n pour laquelle l'ingalit de bienaym-tchebychev permet d'affirmer que:
`p(72m?n27,28)@0,95.
po `4
exercice `2 (`6 points)
on considre une fonction `f dfinie sur l'intervalle `)b`0;`!c(. on admet qu'elle est deux fois drivable sur l'intervalle `)b`0;`!c(. on note `f' sa fonction drive et `f'' sa fonction drive seconde.
dans un repre orthogonal, on a trac `;planche tactile no `2':
9o la courbe reprsentative de `f, note `c?f, sur l'intervalle `0;3;
9o la droite `t?a, tangente  `c?f au point `a(`1;`2);
9o la droite `t?b, tangente  `c?f au point `b(e;e).
on prcise par ailleurs que la tangente `t?a passe par le point `c(`3;`0).
`;voir planche tactile no `2'
partie a: lectures graphiques
on rpondra aux questions suivantes en les justifiant  l'aide du graphique.
`1. dterminer le nombre driv `f'(`1).
`2. combien de solutions l'quation `f'(x)`"0 admet-elle dans l'intervalle `0;3?
`3. quel est le signe de `f''(`0,2)?
po `5
partie b: tude de la fonction `f
on admet dans cette partie que la fonction `f est dfinie sur l'intervalle `)b`0;`!c( par:
`'f(x)"x(2(lnx;)^2-3lnx;!2)
o `ln dsigne la fonction logarithme nprien.
`1. rsoudre dans `r l'quation `'2x^2-3x!2"0.
en dduire que `c?f ne coupe pas l'axe des abscisses.
`2. dterminer, en justifiant, la limite de `f en `!c.
on admettra que la limite de `f en `0 est gale  `0.
`3. on admet que pour tout `x appartenant  `)b`0;`!c(, `'f'(x)"2(lnx;)^2!lnx;-1.
a. montrer que pour tout `x appartenant  `)b`0;`!c(, `'f''(x)"1/x;(4lnx;!1).
b. tudier la convexit de la fonction `f sur l'intervalle `)b`0;`!c( et prciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.
c. montrer que la courbe `c?f est au-dessus de la tangente `t?b sur l'intervalle `(`1;`!c(.
partie c: calcul d'aire
`1. justifier que la tangente `t?b a pour quation rduite `y`"2x-e.
`2.  l'aide d'une intgration par parties, montrer que `'?1^exlnx;dx"e^2!1;/4.
`3. on note `a l'aire du domaine hachur sur la figure, dlimit par la courbe `c?f, la tangente `t?b, et les droites d'quation `x`"1 et `x`"e.
on admet que `'?1^ex(lnx;)^2dx"e^2-1;/4.
en dduire la valeur exacte de `a en unit d'aire.
exercice `3 (`4 points)
pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
justifier chaque rponse. une rponse non justifie ne rapporte aucun point.
on munit l'espace d'un repre orthonorm `(o;:i,:j,:k).
`1. on considre les points `a(--`1;`0;`5) et `b(`3;`2;-`1).
affirmation `1: une reprsentation paramtrique de la droite `(ab) est
(`x"3-2t
`y"2-t
`z"-1!3t avec `t1r.
affirmation `2: le vecteur
`:n(`5
`-2
`1) est normal au plan `(oab).
po `6
`2. on considre:
9o la droite `d de reprsentation paramtrique (`x"15!k
`y"8-k
`z"-6!2k avec `k1r;
9o la droite `d' de reprsentation paramtrique (`x"1!4s
`y"2!4s
`z"1-6s avec `s1r
affirmation `3: les droites `d et `d' ne sont pas coplanaires.
`3. on considre le plan `p d'quation `x-y`!z!1"0.
affirmation `4: la distance du point `c(`2;-`1;`2) au plan `p est gale  `2@3.
exercice `4 (`5 points)
une quipe de biologistes tudie l'volution de la superficie recouverte par une algue marine appele posidonie, sur le fond de la baie de l'alycastre, prs de l'3le de porquerolles.
la zone tudie est d'une superficie totale de `20 hectares (ha), et au premier juillet `2024, la posidonie recouvrait `1 ha de cette zone.
partie a: tude d'un modle discret
pour tout entier naturel `n, on note `u?n la superficie de la zone, en hectare, recouverte par la posidonie au premier juillet de l'anne ``2024!n. ainsi, `u?0"1.
une tude conduite sur cette superficie a permis d'tablir que pour tout entier naturel `n:
`'u?n!1;"-0,02u?n^2!1,3u?n.
`1. calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet `2025 d'aprs ce modle.
`2. on note `h la fonction dfinie sur `0;20 par `h(x)"-0,02x^2!1,3x.
on admet que `h est croissante sur `0;20.
a. dmontrer que pour tout entier naturel `n, `'12u?n2u?n!1;220. b. en dduire que la suite `(u?n) converge. on note `l sa limite.
c. justifier que `l`"15.
po `7
`3. les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la posidonie dpassera les `14 hectares.
a. sans aucun calcul, justifier que, d'aprs ce modle, cela se produira.
b. recopier et complter l'algorithme suivant pour qu'en fin d'excution, il affiche la rponse  la question des biologistes.
def seuil ():
n `" `0
u `" `1
while `-:
n `" `-
u `" `-
return n
partie b: tude d'un modle continu
on souhaite dcrire la superficie de la zone tudie recouverte par la posidonie au cours du temps avec un modle continu.
dans ce modle, pour une dure `t, en anne, coule  partir du premier juillet `2024, la superficie de la zone tudie recouverte par la posidonie est donne par `f(t), o `f est une fonction dfinie sur `(`0;`!c( vrifiant:
9o `f(`0)`"1;
9o `f ne s'annule pas sur `(`0;`!c(;
9o `f est drivable sur `(`0;`!c(;
9o `f est solution sur `(`0;`!c( de l'quation diffrentielle `(e?1): `y'"0,02y(15-y).
on admet qu'une telle fonction `f existe; le but de cette partie est d'en dterminer une expression.
on note `f' la fonction drive de `f.
`1. soit `g la fonction dfinie sur `(`0;`!c( par `g(t)`"1/f(t).
montrer que `g est solution de l'quation diffrentielle `(e?2): `y'"-0,3y!0,02.
`2. donner les solutions de l'quation diffrentielle `(e?2).
`3. en dduire que pour tout `t10;!c:
`'f(t)"15/14e^-0,3t;!1;.
`4. dterminer la limite de `f en ``!c.
`5. rsoudre dans l'intervalle `(`0;`!c( l'inquation `f(t)@`14. interprter le rsultat dans le contexte de l'exercice.
